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力学的エネルギー(りきがくてきエネルギー、Mechanical energy)とは、運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和のことを指す。

保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー(運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和)が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則(力学的エネルギー保存則)と言う。

これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K 、ポテンシャルを U 、力学的エネルギーを E とする。

: $K+U=E\; \backslash ,$

一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、

: $K\; =\; \backslash fracv^2\; >\; 0$

なので、

:

となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、

: $\backslash frac(\backslash mathbf-\; \backslash mathbf\_0)^2$

である。( x₀ は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x² の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。

: $U\; =\; A(1\; -\; \backslash mathrm\backslash theta)\; =\; A(\backslash frac-\backslash frac+\; \backslash cdots)$

十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。

力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー(摩擦などを通してやりとりされる)や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している(→エネルギー保存の法則)。

◆ 力学的エネルギーの散逸

保存力でない力を非保存力という。非保存力が仕事をする場合、力学的エネルギーは保存しない。

具体的な非保存力の例は、

動摩擦力

・ $-\backslash mu\; \backslash hat\; \backslash mathbf$

粘性抵抗力

・ $-\backslash gamma\; \backslash mathbf=-\backslash gamma\; v\; \backslash hat\; \backslash mathbf$

慣性抵抗力

・ $-\backslash beta\; v\; \backslash mathbf=-\backslash beta\; v^2\; \backslash hat\; \backslash mathbf$

但し、$v=\backslash left|\; \backslash mathbf\backslash right|$、$\backslash hat\; \backslash mathbf=\backslash mathbf/v$である。

一般に非保存力fは、

・ $\backslash mathbf=-f(v)\; \backslash hat\; \backslash mathbf$

と表される。(f(v)>0)

運動方程式

: $m\; \backslash dot\; \backslash mathbf=\; -\backslash nabla\; U\; +\; \backslash mathbf$

である。

この式の両辺に速度をかけると、

: $m\; \backslash dot\; \backslash mathbf\backslash cdot\; \backslash mathbf=\; -(\backslash nabla\; U)\backslash cdot\; \backslash mathbf+\; \backslash mathbf\backslash cdot\; \backslash mathbf$

: $\backslash frac(\backslash fracmv^2)\; =\; -\backslash frac-\; f(v)v$

: $\backslash fracE\; =\; -f(v)v$

力学的エネルギーの時間変化率は、-f(v)vである。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。

非保存力により力学的エネルギーが減少することをエネルギーの散逸という。

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